【漫士数理】到底什么是傅里叶变换？

[SOD]

[resso]

我日，这是傅立叶级数吧

[shepherd17]

耐心看完了视频，现在只会加减乘除了。

当年我们学习大学有机化学时，要根据化合物的特征波谱识别鉴定化合物的官能团或者结构。其中红外光谱分析就必须要用到傅里叶变换。

[resso]

耐心看完了视频，现在除了加减乘除其它的都忘了。

当年我们学习大学有机化学时，要根据化合物的特征波谱识别鉴定化合物的官能团或者结构。其中红外光谱分析就必须要用到傅里叶变换。

傅立叶变换不在你的光谱分析里，在你的机器里

[shepherd17]

耐心看完了视频，现在除了加减乘除其它的都忘了。

当年我们学习大学有机化学时，要根据化合物的特征波谱识别鉴定化合物的官能团或者结构。其中红外光谱分析就必须要用到傅里叶变换。

傅立叶变换不在你的光谱分析里，在你的机器里

对！变换是计算机做的。

当年接受训练，最后看一眼光谱就能判断出是那种类型化合物。

[resso]

傅立叶变换不在你的光谱分析里，在你的机器里

对！变换是计算机做的。

当年接受训练，最后看一眼光谱就能判断出是那种类型化合物。

傅立叶变换红外光谱（FTIR）的底层支撑是严谨的波动光学物理和积分变换数学。以下是FTIR涉及的核心数学与物理原理：一、 光学物理原理：迈克尔逊干涉与光程差干涉仪是FTIR的心脏，其物理本质是两束相干光的单色或多色干涉 [1]。1. 光程差（Optical Path Difference, OPD）设动镜偏离平衡位置的距离为 \(x\)，则由于光线往返，动镜臂的光程改变了 \(2x\)。光程差 \(\delta \) 定义为：\(\delta = 2x\)动镜以恒定速度 \(v\) 移动时，光程差随时间 \(t\) 变化：\(\delta(t) = 2vt\)2. 单色光的干涉设入射单色光的波数为 \(\~{\nu }\)（\(\tilde{\nu} = 1/\lambda\)，单位通常为 \(\text{cm}^{-1}\)）。两束光汇聚后的光强 \(I(\delta)\) 取决于光程差 \(\delta \)：\(I(\delta )=\frac{1}{2}I{0}(1+\cos (2\pi \~{\nu }\delta ))\)其中 \(I{0}\) 为光源的初始光强。去除直流分量（常数项）后，检测器上随光程差变化的交流信号（干涉图项）为：\(I(\delta )\propto I(\~{\nu })\cos (2\pi \~{\nu }\delta )\)3. 多色光（连续光源）的叠加现实中的红外光源是连续谱。根据波的叠加原理，最终检测器接收到的总干涉强度 \(I(\delta)\) 是所有波数干涉信号的积分总和：\(I(\delta )=\int _{-\infty }^{+\infty }B(\~{\nu })\cos (2\pi \~{\nu }\delta )d\~{\nu }\)这里的 \(B(\tilde{\nu})\) 就是我们渴望得到的光谱功率密度（即红外光谱）。二、 数学原理：傅立叶变换对上述干涉图公式在数学上是一个典型的余弦积分变换。因为 \(B(\tilde{\nu})\) 是实偶函数，该式本质上就是傅立叶变换的实数形式。1. 连续傅立叶变换利用傅立叶变换的对称性，可以通过对实测的干涉图 \(I(\delta)\) 进行逆傅立叶变换，反向推导出光谱 \(B(\tilde{\nu})\)：\(B(\~{\nu })=\int {-\infty }^{+\infty }I(\delta )\cos (2\pi \~{\nu }\delta )d\delta \)数学域的转换：干涉图 \(I(\delta)\) 存在于空间域（单位：\(\text{cm}\)），而光谱 \(B(\tilde{\nu})\) 存在于空间频率域（波数域）（单位：\(\text{cm}^{-1}\)）。2. 离散傅立叶变换（DFT）与 FFT在实际仪器中，动镜的位移是非连续的，检测器只能以固定间隔 \(\Delta \delta\) 进行离散采样。离散计算：连续积分转换为求和公式：\(B(\~{\nu }{k})=\sum _{n=0}^{N-1}I(\delta {n})\cos \left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\)快速傅立叶变换（FFT）：为了让计算机能在不到1秒内处理数万个采样点，仪器内置了库利-图基（Cooley-Tukey）的 FFT 算法，将计算复杂度从 \(\mathcal{O}(N²)\) 降低到 \(\mathcal{O}(N \log N)\)。三、 数据处理中的数学修正（工程数学）在物理实现上，数学公式的“无限大”边界是不存在的，必须进行数学修正：1. 截断效应与阿方化（Apodization）由于动镜移动距离有限，实际采集的干涉图在最大光程差 \(L\) 处被切断（相当于乘以一个矩形窗函数）。物理后果：矩形窗的傅立叶变换是 \(\text{sinc}\) 函数，这会导致光谱峰两侧出现类似波纹的旁瓣（Sidelobes）（即假峰）。数学解决：引入阿方化函数（窗函数），如 Happ-Genzel 窗或三角窗，将干涉图边缘平滑衰减至零，从而消除旁瓣（代价是谱峰会稍微变宽，分辨率轻微下降）。2. 采样定理（Nyquist Theorem）为了防止光谱发生混叠（Aliasing），动镜位移的采样频率必须满足奈奎斯特定理。数学关系：最高测试波数 \(\~{\nu }{max}\) 对应的采样间隔 \(\Delta \delta\) 必须满足：\(\Delta \delta \le \frac{1}{2\~{\nu }_{max}}\)物理实现：FTIR 内部普遍使用一束额外的氦氖（He-Ne）激光（固定波长 \(\lambda = 632.8\text{ nm}\)）同步穿过干涉仪。利用激光超高精度的干涉过零点作为触发红外采样的“时钟”，确保 \(\Delta \delta\) 的极高精度。

[Leuning]

耐心看完了视频，现在只会加减乘除了。

当年我们学习大学有机化学时，要根据化合物的特征波谱识别鉴定化合物的官能团或者结构。其中红外光谱分析就必须要用到傅里叶变换。

这个是我听过讲得最好的：

Fourier Transform Every signal is make up of hidde... http://xhslink.com/o/7VvsPtc7Ow5
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